A地產(chǎn)汽油,B地需要汽油.運(yùn)輸工具沿直線AB從A地到B地運(yùn)油,往返A(chǔ),B一趟所需的油耗等于從A地運(yùn)出總油量的
1
100
.如果在線段AB之間的某地C(不與A,B重合)建一油庫,則可選擇C作為中轉(zhuǎn)站,即可由這種運(yùn)輸工具先將油從A地運(yùn)到C地,然后再由同樣的運(yùn)輸工具將油從C地運(yùn)到B地.設(shè)
AC
AB
=x,往返A(chǔ),C一趟所需的油耗等于從A地運(yùn)出總油量的
x
100
.往返C,B一趟所需的油耗等于從C地運(yùn)出總油量的
1-x
100
.不計裝卸中的損耗,定義:運(yùn)油率P=
B地收到的汽油量
A地運(yùn)出的汽油量
,設(shè)從A地直接運(yùn)油到B地的運(yùn)油率為P1,從A地經(jīng)過C中轉(zhuǎn)再運(yùn)油到B地的運(yùn)油率為P2
(1)比較P1,P2的大;
(2)當(dāng)C地選在何處時,運(yùn)油率P2最大?
分析:(1)設(shè)從A地運(yùn)出的油量為a,根據(jù)題設(shè),直接運(yùn)油到B地,往返油耗等于
1
100
a,所以B地收到的油量為(1-
1
100
)a.根據(jù)
運(yùn)油率P=
B地收到的汽油量
A地運(yùn)出的汽油量
,可計算P1;而從A地運(yùn)出的油量為a時,C地收到的油量為(1-
x
100
)a,
B地收到的油量(1-
1-x
100
)(1-
x
100
)a,根據(jù)運(yùn)油率P=
B地收到的汽油量
A地運(yùn)出的汽油量
,可計算P2.然后兩者作差比較.
(2)由P2=(
99
100
+
x
100
)(1-
x
100
)利用基本不等式求其最大值.
解答:解:(1)設(shè)從A地運(yùn)出的油量為a,根據(jù)題設(shè),直接運(yùn)油到B地,往返油耗等于
1
100
a,
所以B地收到的油量為(1-
1
100
)a.
所以運(yùn)油率P1=
a-
1
100
a
a
=
99
100

而從A地運(yùn)出的油量為a時,C地收到的油量為(1-
x
100
)a,
B地收到的油量(1-
1-x
100
)(1-
x
100
)a,
所以運(yùn)油率P2=(1-
1-x
100
)(1-
x
100
)=(
99
100
+
x
100
)(1-
x
100
).
所以P2-P1=
1
10000
x(1-x),因為0<x<1,
所以P2-P1>0,即P2>P1
(2)因為P2=(
99
100
+
x
100
)(1-
x
100
)≤(
99
100
+
x
100
+1-
x
100
2
)
2
=(
199
200
)
2

當(dāng)且僅當(dāng)
99
100
+
x
100
=1-
x
100
,即x=
1
2
時,取“=”
所以當(dāng)C地為AB中點時,運(yùn)油率P2有最大值.
點評:本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用,涉及了函數(shù)模型的比較,基本不等式求函數(shù)最值.
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