【題目】設(shè)x,y,z∈R,z(x+2y)=m.
(1)若m=1,求的最小值;
(2)若x2+2y2+3z2=m2﹣8,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)1;(2)(﹣∞,﹣4]∪[4,+∞).
【解析】
(1)由均值不等式及其變形,可得到兩數(shù)的平方和不小于兩數(shù)和平方的一半,對(duì)運(yùn)用剛得到的基本不等式的變形性質(zhì),結(jié)合已知進(jìn)行求解即可;
(2)由均值不等式和絕對(duì)值不等式得x2+2y2+3z2=(x2+z2)+2(y2+z2)≥2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|=2|z(x+2y)|=|m|,進(jìn)而得到關(guān)于m的不等式,解出即可.
(1)∵a2+b2≥2ab,
∴2(a2+b2)≥(a+b)2,即a2+b2(a+b)2,
∴x2+4y2z2(x+2y)2z22|(x+2y)z|=1,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,x+2y=z時(shí),即x=2yz,等號(hào)成立,
∴x2+4y2z2的最小值是1.
(2)∵m2﹣8=x2+2y2+3z2=(x2+z2)+2(y2+z2)≥2|xz|+4|yz|,(當(dāng)且僅當(dāng)|x|=|y|=|z|時(shí)等號(hào)成立),
又2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|=2|z(x+2y)|=|m|,(當(dāng)且僅當(dāng)xz與yz非異號(hào)時(shí)等號(hào)成立).
∴m2﹣8≥2|m|,即m2﹣2|m|﹣8≥0,
解得|m|≥4,即m≥4或m≤﹣4,
所以m的取值范圍為(﹣∞,﹣4]∪[4,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線,的斜率分別為,,當(dāng)時(shí),的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“難度系數(shù)”反映試題的難易程度,難度系數(shù)越大,題目得分率越高,難度也就越小.“難度系數(shù)”的計(jì)算公式為,其中,為難度系數(shù),為樣本平均失分,為試卷總分(一般為100分或150分).某校高三年級(jí)的李老師命制了某專題共5套測(cè)試卷(每套總分150分),用于對(duì)該校高三年級(jí)480名學(xué)生進(jìn)行每周測(cè)試.測(cè)試前根據(jù)自己對(duì)學(xué)生的了解,預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù),如下表所示:
試卷序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度系數(shù) | 0.7 | 0.64 | 0.6 | 0.6 | 0.55 |
測(cè)試后,隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:
試卷序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實(shí)測(cè)平均分 | 102 | 99 | 93 | 93 | 87 |
(1)根據(jù)試卷2的難度系數(shù)估計(jì)這480名學(xué)生第2套試卷的平均分;
(2)從抽樣的50名學(xué)生的5套試卷中隨機(jī)抽取2套試卷,記這2套試卷中平均分超過96分的套數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實(shí)測(cè)難度系數(shù)之間會(huì)有偏差.設(shè)為第套試卷的實(shí)測(cè)難度系數(shù),并定義統(tǒng)計(jì)量,若,則認(rèn)為本專題的5套試卷測(cè)試的難度系數(shù)預(yù)估合理,否則認(rèn)為不合理.試檢驗(yàn)本專題的5套試卷對(duì)難度系數(shù)的預(yù)估是否合理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為.過點(diǎn)作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),且直線與右準(zhǔn)線交于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,求直線的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?若存在,求實(shí)數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年初,一場(chǎng)新冠肺炎疫情突如其來(lái),在黨中央強(qiáng)有力的領(lǐng)導(dǎo)下,全國(guó)各地的醫(yī)務(wù)工作者迅速馳援湖北,以大無(wú)畏的精神沖在了抗擊疫情的第一線,迅速控制住疫情.但國(guó)外疫情嚴(yán)峻,輸入性病例逐漸增多,為了鞏固我國(guó)的抗疫成果,保護(hù)國(guó)家和人民群眾的生命安全,我國(guó)三家生物高科技公司各自組成A、B、C三個(gè)科研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行加急疫苗研究,其研究方向分別是滅活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗,根據(jù)這三家的科技實(shí)力和組成的團(tuán)隊(duì)成員,專家預(yù)測(cè)這A、B、C三個(gè)團(tuán)隊(duì)未來(lái)六個(gè)月中研究出合格疫苗并用于臨床接種的概率分別為,,,且三個(gè)團(tuán)隊(duì)是否研究出合格疫苗相互獨(dú)立.
(1)求六個(gè)月后A,B兩個(gè)團(tuán)隊(duì)恰有一個(gè)研究出合格疫苗并用于臨床接種的概率;
(2)設(shè)六個(gè)月后研究出合格疫苗并用于臨床接種的團(tuán)隊(duì)個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為4.且過點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè),,,過B點(diǎn)且斜率為的直線l交橢圓E于另一點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)Q,直線AM與直線相交于點(diǎn)P.證明:(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l:和橢圓:相交于點(diǎn),
(1)當(dāng)直線l過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí),求直線l的方程
(2)點(diǎn)在上,若,求面積的最大值:
(3)如果原點(diǎn)O到直線l的距離是,證明:為直角三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某地有一塊半徑為R的扇形AOB公園,其中O為扇形所在圓的圓心,AOB=,OA,OB,為公園原有道路.為滿足市民觀賞和健身的需要,市政部門擬在上選取一點(diǎn)M,新建道路OM及與OA平行的道路MN(點(diǎn)N在線段OB上),設(shè)AOM=.
(1)如何設(shè)計(jì),才能使市民從點(diǎn)O出發(fā)沿道路OM,MN行走至點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑最長(zhǎng)?請(qǐng)說明理由;
(2)如何設(shè)計(jì),才能使市民從點(diǎn)A出發(fā)沿道路,MN行走至點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑最長(zhǎng)?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,離心率為, 在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn),且
(1)若過三點(diǎn)的圓 恰好與直線相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出的取值范圍;如果不存在,說明理由.
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