Question

（本小題滿分14分）已知橢圓C ，過點(diǎn)M(0, 3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

（Ⅰ）若l與x軸相交于點(diǎn)N，且A是MN的中點(diǎn)，求直線l的方程；

（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn), 且 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)). 求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）解：設(shè)A(x1, y1)，因?yàn)锳為MN的中點(diǎn)，且M的縱坐標(biāo)為3，N的縱坐標(biāo)為0，

所以，                                            ---------------------------1分

又因?yàn)辄c(diǎn)A(x1, y1)在橢圓C上，所以，即，解得，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，                       -------------------------3分

所以直線l的方程為或.  --------------------------5分

   （Ⅱ）解：設(shè)直線AB的方程為或，A(x1, y1)，B(x2, y2)，，

當(dāng)AB的方程為時(shí)，，與題意不符.        --------------------------6分

當(dāng)AB的方程為時(shí)： 由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，

 消去y得， 所以即， 

則， --------8分

因?yàn)?，所以，解得， 所以.    --------------------------10分

因?yàn)?img width=105 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0677/114/64614.gif" >，即，

所以當(dāng)時(shí)，由，得，

上述方程無解，所以此時(shí)符合條件的直線不存在；      --------------------11分

當(dāng)時(shí)，，，

 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上， 所以， --------------------12分

 化簡(jiǎn)得， 因?yàn)?img width=67 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0677/113/64613.gif" >，所以，則. 

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.             ---------------------------14分