【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).(10分)
(1)若a=﹣1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為 ,求a.
【答案】
(1)
解:曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),化為標(biāo)準(zhǔn)方程是: +y2=1;
a=﹣1時,直線l的參數(shù)方程化為一般方程是:x+4y﹣3=0;
聯(lián)立方程 ,
解得 或 ,
所以橢圓C和直線l的交點(diǎn)為(3,0)和(﹣ , ).
(2)
l的參數(shù)方程 (t為參數(shù))化為一般方程是:x+4y﹣a﹣4=0,
橢圓C上的任一點(diǎn)P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),
所以點(diǎn)P到直線l的距離d為:
d= = ,φ滿足tanφ= ,
又d的最大值dmax= ,
所以|5sin(θ+φ)﹣a﹣4|的最大值為17,
得:5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17,
即a=﹣16或a=8.
【解析】(1.)將曲線C的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,直線l的參數(shù)方程化為一般方程,聯(lián)立兩方程可以求得交點(diǎn)坐標(biāo);
(2.)曲線C上的點(diǎn)可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式可以表示出P到直線l的距離,再結(jié)合距離最大值為 進(jìn)行分析,可以求出a的值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用三角函數(shù)的最值,掌握函數(shù),當(dāng)時,取得最小值為;當(dāng)時,取得最大值為,則,,即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M在橢圓C: +y2=1上,過M做x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足 = .
(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=﹣3上,且 =1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知半徑為5的圓的圓心在軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線相切.
求:(1)求圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù),使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦?
若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,函數(shù),
.
(1)當(dāng)時,求的值;
(2)若的最小值為,求實(shí)數(shù)的值;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù),有四個不同的零點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:(12分)
抽取次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
零件尺寸 | 9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
零件尺寸 | 10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計(jì)算得 = xi=9.97,s= = =0.212, ≈18.439, (xi﹣ )(i﹣8.5)=﹣2.78,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.
(1)求(xi , i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變。ㄈ魘r|<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變。
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在( ﹣3s, +3s)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
(。⿵倪@一天抽檢的結(jié)果看,是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?
(ⅱ)在( ﹣3s, +3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)
附:樣本(xi , yi)(i=1,2,…,n)的相關(guān)系數(shù)r= , ≈0.09.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A.1盞
B.3盞
C.5盞
D.9盞
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓的離心率為,過點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(2,1),直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
①求直線的斜率;②若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an},滿足a1=1,a2=3,an+2=3an+1﹣2an , bn=an+1﹣an ,
(1)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;.
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