Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F（0，2），且與定直線L：y=-2相切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若AB是軌跡C的動(dòng)弦，且AB過(guò)F（0，2），分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q，證明：AQ⊥BQ．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)（0，2）與到定直線y=-2的距離相等，利用拋物線的定義求軌跡方程即可；
（II）設(shè)AB：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用切線的幾何意義即可求得過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率關(guān)系，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（I）依題意，圓心的軌跡是以F（0，2）為焦點(diǎn)，L：y=-2為準(zhǔn)線的拋物線上（2分）
因?yàn)閽佄锞�焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離等于4，所以圓心的軌跡是x²=8y（5分）
（II）∵直線AB與x軸不垂直，設(shè)AB：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（6分）
由

y=kx+2 y= 1 8 x2.

可得x²-8kx-16=0，x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16（8分）
拋物線方程為y=

1

8

x2，求導(dǎo)得y′=

1

4

x．
所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是
k1=

1

4

x1，k2=

1

4

x2，k1•k2=

1

4

x1•

1

4

x2=

1

16

x1•x2=-1
所以，AQ⊥BQ

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，以及拋物線定義的應(yīng)用，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想．定義法  若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．