解:(I)∵
,
∴
,
兩式相減得8a
n+1=a
n+12-a
n2+4a
n+1-4a
n,∴a
n+12-a
n2-4a
n+1-4a
n=0,
∴(a
n+1+a
n)(a
n+1-a
n-4)=0,
又{a
n}是正數(shù)數(shù)列,
∴a
n+1-a
n-4=0,
∴a
n+1-a
n=4,
∴{a
n}是等差數(shù)列.
∵
,
∴a
1=2,
∴a
n=4n-2,(n∈N
*).
(II)∵a
n=4n-2,
∴
,
∴
,
∴對(duì)一切n∈N
*,必有T
n<1.
故令m
2-m-5≥1,
∴m≤-2或m≥3,又m>0,
∴m≥3.
分析:(I)將已知的
中的n用n-1代替,仿寫(xiě)一個(gè)新的等式,兩個(gè)式子相減,變形得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,利用等差數(shù)列的定義判斷出是一個(gè)等差數(shù)列,利用等差數(shù)列 通項(xiàng)公式求出通項(xiàng).
(II)將a
n代入
,將其裂成兩項(xiàng)的差,,利用裂項(xiàng)求和求出T
n,列出關(guān)于m的不等式,求出m的范圍.
點(diǎn)評(píng):解決數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題,一般通過(guò)仿寫(xiě)得到新等式,兩個(gè)式子相減得到關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系再解決;解決數(shù)列的求和問(wèn)題,一般先根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法.