【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,政府欲將一塊長(zhǎng)12百米,寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園,園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(圖中陰影部分).以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示).景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型.園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上,PO=百米.
(1)若在點(diǎn)O和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)M之間修建一條休閑長(zhǎng)廊OM,求OM的最短長(zhǎng)度;
(2)若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置,使通道直線段PQ最短.
【答案】(1) 的最小值為百米.
(2) 當(dāng)點(diǎn)在線段上且距離軸百米,通道PQ最短.
【解析】
(1)設(shè),,求出 ,再利用基本不等式求OM的最短長(zhǎng)度.(2) 當(dāng)直線與邊界曲線相切時(shí),最短.設(shè)切點(diǎn)為,求出切點(diǎn)為,切線方程為,令,得,即點(diǎn)在線段上且距離軸百米.
(1)設(shè),,
則 ,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).
所以的最小值為百米.
(2)當(dāng)直線與邊界曲線相切時(shí),最短.
設(shè)切點(diǎn)為,由得,
所以切線的方程為.
因?yàn)?/span>在軸正半軸上,且PO=,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)榍芯過點(diǎn),所以,
整理得,解得,或.
因?yàn)?/span>,所以,此時(shí)切點(diǎn)為,切線方程為.
令,得,即點(diǎn)在線段上且距離軸百米.
答:當(dāng)點(diǎn)在線段上且距離軸百米,通道PQ最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)以原點(diǎn)為極點(diǎn)x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為:,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并指出它是何種曲線;
(Ⅱ)設(shè)與曲線交于兩點(diǎn),與曲線交于兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一.若某人報(bào)名參加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,需要通過四個(gè)科目的考試,其中科目二為場(chǎng)地考試在每一次報(bào)名中,每個(gè)學(xué)員有次參加科目二考試的機(jī)會(huì)(這次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過考試,就算順利通過,即進(jìn)入下一科目考試,或次都沒有通過,則需要重新報(bào)名),其中前次參加科目二考試免費(fèi),若前次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計(jì),得到如下結(jié)論:男性學(xué)員參加科目二考試,每次通過的概率均為,女性學(xué)員參加科目二考試,每次通過的概率均為.現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)報(bào)名參加駕駛證考試,在本次報(bào)名中,若這對(duì)夫妻參加科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止.
(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;
(2)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)已知拋物線和圓的公共弦過拋物線的焦點(diǎn),且弦長(zhǎng)為4.
(1)求拋物線和圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)拋物線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BCD=60°,點(diǎn)E是BC邊
的中點(diǎn),AC,DE交于點(diǎn)O,,且PO⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥BC;
(2)在線段AP上找一點(diǎn)F,使得BF∥平面PDE,并求此時(shí)四面體PDEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓C:的離心率為,并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(1,),直線l的方程為x=4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)E(1,0),過點(diǎn)E作一條斜率為k的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),交直線l于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在常數(shù),使得k1+k2=k3?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意,都有(為常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求;
(2)當(dāng)時(shí),
(。┣笞C:數(shù)列是等差數(shù)列;
(ⅱ)若對(duì)任意,必存在使得,已知,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1ABAC2,AB⊥AC,M是棱BC的中點(diǎn)點(diǎn)P在線段A1B上.
(1)若P是線段A1B的中點(diǎn),求直線MP與直線AC所成角的大;
(2)若是的中點(diǎn),直線與平面所成角的正弦值為,求線段BP的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知與分別是邊長(zhǎng)為1與2的正三角形,,四邊形為直角梯形,且,,點(diǎn)為的重心,為中點(diǎn),平面,為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若二面角的余弦值為,試求異面直線與所成角的余弦值.
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