Question

2010年5月1日，上海世博會(huì)舉行，在安全保障方面，警方從武警訓(xùn)練基地挑選防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，如果這三項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)通過即可入選．假定某基地有4名武警戰(zhàn)士（分別記為A、B、C、D）參加挑選，且每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

．這三項(xiàng)測(cè)試能否通過相互之間沒有影響．
（1）求A能夠入選的概率；
（2）規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)（每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3000元的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)），求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

．這三項(xiàng)測(cè)試能否通過相互之間沒有影響，A能夠入選包含四種結(jié)果，這四種結(jié)果是互斥的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率，得到結(jié)果．
（2）ξ表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)，由題意知ξ的可能取值是0，3000，6000，9000，12000，根據(jù)上一問做出的一個(gè)人能夠入選的概率，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，得到變量的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）每人能通過體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

．
這三項(xiàng)測(cè)試能否通過相互之間沒有影響
設(shè)A通過體能、射擊、反應(yīng)分別記為事件M、N、P
則A能夠入選包含以下幾個(gè)互斥事件：MN

.

P

，M

.

N

P，

.

M

NP，MNP．
∴P(A)=P(MN

.

P

)+P(M

.

N

P)+P(

.

M

NP)+P(MNP)
=

2

3

×

2

3

×

1

2

+

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

2

3

×

2

3

×

1

2

=

12

18

=

2

3

（2）記ξ表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)，ξ的可能取值是0，3000，6000，9000，12000，
根據(jù)上一問做出的一個(gè)人能夠入選的概率，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，得到
P（ξ=0）=

1

81

；P（ξ=3000）=

8

81

P（ξ=6000）=

24

81

；P（ξ=9000）=

32

81

P（ξ=12000）=

16

81

∴ξ的分布列是：

∴Eξ=3000×

8

81

+6000×

24

81

+9000×

32

81

+12000×

16

81

=8000

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)綜合題目，這種題目在理科的大型考試中經(jīng)常見到．