Question

已知

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，求證

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：根據(jù)題意得

2

b

=

1

a

+

1

c

，化簡整理得2ac=b（a+c）．再將

b+c

a

+

a+b

c

通分，將分子中的b（a+c）換成ac，分母中的ac換成

1

2

b(a+c)，結(jié)合完全平方公式約分化簡得

b+c

a

+

a+b

c

=2•

c+a

b

，結(jié)合等差中項的定義即可得到

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差數(shù)列．

解答：解：∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，
∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，去分母化簡整理得2ac=b（a+c）
∵

b+c

a

+

a+b

c

=

bc+c2+a2+ab

ac

=

b(a+c)+a2+c2

ac

=

2ac+a2+c2

ac

=

(a +c)2

ac

=

(a +c)2

1 2 b(a+c)

=2•

c+a

b

∴

c+a

b

-

b+c

a

=

a+b

c

-

c+a

b

，可得

b+c

a

，

c+a

b

，

a+b

c

也成等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題給出

1

a

、

1

b

、

1

c

成等差數(shù)列，求證

b+c

a

、

c+a

b

、

a+b

c

也成等差數(shù)列．著重考查了運(yùn)用完全平方公式和約分的方法將分式化簡、等差數(shù)列的定義和等差關(guān)系的確定方法等知識，屬于中檔題．