Question

某工廠生產A、B兩種型號的產品，每種型號的產品在出廠時按質量分為一等品和二等品．為便于掌握生產狀況，質檢時將產品分為每20件一組，分別記錄每組一等品的件數．現隨機抽取了5組的質檢記錄，其一等品數莖葉圖如圖所示：
（1）試根據莖葉圖所提供的數據，分別計算A、B兩種產品為一等品的概率P_A、P_B；
（2）已知每件產品的利潤如表一所示，用ξ、η分別表示一件A、B型產品的利潤，在（1）的條件下，求ξ、η的分布列及數學期望（均值）Eξ、Eη；
（3）已知生產一件產品所需用的配件數和成本資金如表二所示，該廠有配件30件，可用資金40萬元，設x、y分別表示生產A、B兩種產品的數量，在（2）的條件下，求x、y為何值時，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答時須給出圖示）

等級 利潤 產品	一等品	二等品
A型	4（萬元）	3（萬元）
B型	3（萬元）	2（萬元）

表二

　　　　　　　

表二

項目 用量 產品	配件（件）	資金（萬元）
A型	6	4
B型	2	8

Answer 1

解：（1）根據所給的產品的總數和由莖葉圖知每一種一等品的件數，
得到A、B兩種產品為一等品的概率，
；
．
（2）∵P（ξ=4）=0.68，P（ξ=3）=0.32
P（η=3）=0.71，P（η=2）=0.29
∴隨機變量ξ、η的分布列

ξ	4	3
P	0.68	0.32

η	3	2
P	0.71	0.29

∴Eξ=4×0.68+3×0.32=3.68，Eη=3×0.71+2×0.29=2.71．
（3）由題設知，目標函數為z=xEξ+yEη=3.68x+2.71y，
作出可行域如圖所示
作直線l：3.68x+2.71y=0，將向l右上方平移至l₁位置時，
即直線經過可行域上的點M時，z=3.68x+2.71y取最大值．
解方程組，得x=4，y=3，
即x=4，y=3時，z取最大值，最大值是22.85
分析：（1）根據所給的產品的總數和由莖葉圖知每一種一等品的件數，得到A、B兩種產品為一等品的概率．
（2）根據表一所給的利潤，結合莖葉圖求出變量對應的概率，寫出分布列，求出期望值．
（3）根據題意寫出約束條件和目標函數，作出可行域，作直線l：3.68x+2.71y=0，將向l右上方平移至l₁位置時，
即直線經過可行域上的點M時，z=取最大值．得到結果．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查線性規(guī)劃的實際應用，考查讀莖葉圖和表格，考查利用數學知識解決實際問題，本題是一個基礎題．