【題目】已知f(x)=x2﹣alnx,a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a>0時(shí),若f(x)的最小值為1,求a的值;
(3)設(shè)g(x)=f(x)﹣2x,若g(x)在[ , ]有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2),證明:g(x1)﹣g(x2)的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)由題意,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
當(dāng)a=1 時(shí),f′(x)==
∴當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f′(x)<0,x∈(2,+∞),f′(x)>0.
∴f(x)在x=2時(shí)取得極小值且為最小值,其最小值為 f(2)=﹣2ln2
(Ⅱ)∵f′(x)=x﹣+(a﹣2)==
∴(1)當(dāng)﹣2<a≤0時(shí),若x∈(0,﹣a)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);
x∈(﹣a,2)時(shí),f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);
x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù).
(2)當(dāng)a=﹣2時(shí),x∈(0,+∞)時(shí),f(x)為增函數(shù);
(3)當(dāng)a<﹣2時(shí),x∈(0,2)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);
x∈(2,﹣a)時(shí),f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);
x∈(﹣a,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù)
(Ⅲ)證明:假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的 x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 有 >a恒成立,
不妨設(shè)0<x1<x2 , 只要 >a,即:f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣ax1
令g(x)=f(x)﹣ax,只要 g(x)在(0,+∞)為增函數(shù)
又函數(shù)g(x)=x2﹣2alnx﹣2x.
考查函數(shù)g′(x)=x﹣﹣2)==
要使g′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要﹣1﹣2a≥0,即a≤﹣,
故存在實(shí)數(shù)a∈(﹣∞,﹣]時(shí),對(duì)任意的 x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 有 >a恒成立
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)f(x)的定義域,當(dāng)a=1 時(shí),求出f′(x),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的最小值即可.
(Ⅱ)化簡(jiǎn)求解f′(x)= , 通過(guò)(1)當(dāng)﹣2<a≤0時(shí),(2)當(dāng)a=﹣2時(shí),(3)當(dāng)a<﹣2時(shí),分別求解函數(shù)的單調(diào)性即可.
(Ⅲ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的 x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 有 >a恒成立,轉(zhuǎn)化方程為f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣ax1構(gòu)造g(x)=f(x)﹣ax,只要 g(x)在(0,+∞)為增函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值,導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),判斷證明即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且,,成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足,為數(shù)列的前項(xiàng)和. 設(shè),當(dāng)最大時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A(1,2,3),B(2,1,2),C(1,1,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)D在直線OC上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)·取最小值時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在側(cè)棱垂直底面的四棱柱中, , ,是的中點(diǎn),是平面與直線的交點(diǎn).
(1)證明: ;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= , g(x)=asin(x+π)﹣2a+2(a>0),給出下列結(jié)論:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,];
②函數(shù)g(x)在[0,1]上是增函數(shù);
③對(duì)任意a>0,方程f(x)=g(x)在區(qū)間[0,1]內(nèi)恒有解;
④若x1∈R,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是:≤a≤ .
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四棱錐中, 面, 是平行四邊形, , ,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且,平面與交于點(diǎn),則異面直線與所成角的正切值為__________.
【答案】
【解析】
延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)Q,連接QE交PA于點(diǎn)K,設(shè)QA=x,
由,得,則,所以.
取的中點(diǎn)為M,連接EM,則,
所以,則,所以AK=.
由AD//BC,得異面直線與所成角即為,
則異面直線與所成角的正切值為.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】在極坐標(biāo)系中,極點(diǎn)為,已知曲線: 與曲線: 交于不同的兩點(diǎn), .
(1)求的值;
(2)求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,四邊形四邊均相等,點(diǎn)在面的射影為中點(diǎn).
(1)證明:;
(2)若,,,求點(diǎn)到面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x﹣4|>m對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sinωx﹣cosωx+m(ω>0,x∈R,m是常數(shù))的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn) ,且與點(diǎn) 最近的一個(gè)最低點(diǎn)是 .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且 ac,求函數(shù)f(A)的值域.
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