Question

若圓C經過坐標原點和點（6，0），且與直線y=1相切，從圓C外一點P（a，b）向該圓引切線PT，T為切點，

（Ⅰ）求圓C的方程；

（Ⅱ）已知點Q（2，﹣2），且|PT|=|PQ|，試判斷點P是否總在某一定直線l上，若是，求出l的方程；若不是，請說明理由；

（Ⅲ）若（Ⅱ）中直線l與x軸的交點為F，點M，N是直線x=6上兩動點，且以M，N為直徑的圓E過點F，圓E是否過定點？證明你的結論．

Answer 1

解答：

（Ⅰ）解：設圓心C（m，n）由題易得m=3﹣﹣﹣﹣（1分）   

半徑，﹣﹣﹣﹣（2分）

得n=﹣4，r=5﹣﹣﹣﹣（3分）    

所以圓C的方程為（x﹣3）²+（y+4）²=25﹣﹣﹣﹣（4分）

（Ⅱ）解：由題可得PT⊥CT﹣﹣﹣﹣（5分）  

所以﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

﹣﹣﹣﹣（7分）

所以=整理得a﹣2b+4=0

所以點P總在直線x﹣2y+4=0上﹣﹣﹣﹣（8分）

（Ⅲ）證明：F（﹣4，0）﹣﹣﹣﹣（9分）  

由題可設點M（6，y₁），N（6，y₂），

則圓心，半徑﹣﹣﹣﹣（10分）

從而圓E的方程為﹣﹣﹣﹣（11分）

整理得x²+y²﹣12x﹣（y₁+y₂）y+36+y₁y₂=0又點F在圓E上，故=0

得y₁y₂=﹣100﹣﹣﹣﹣（12分）  

所以x²+y²﹣12x﹣（y₁+y₂）y﹣64=0

令y=0得x²﹣12x﹣64=0，﹣﹣﹣﹣（13分）  

所以x=16或x=﹣4

所以圓E過定點（16，0）和（﹣4，0）﹣﹣﹣﹣（14分）