Question

已知四邊形ABCD為平行四邊形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE = BC = 1，AE = ，M為線段AB的中點，N為線段DE的中點，P為線段AE的中點。

（1）求證：MN⊥EA；
（2）求四棱錐M – ADNP的體積。

Answer 1

（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理來證明線線垂直，主要是對于的證明。（2）1

試題分析：解：方法一：
（Ⅰ）取中點，連接，

又平面，平面，
又又平面
，

（Ⅱ）過作于，連接
平面，
又平面，
又
平面
，又，
平面，
二面角為二面角的平面角
在中，

  二面角的余弦值為
方法二：
（Ⅰ）平面平面，
平面平面，
過作平面，則
以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系



，

（Ⅱ），，設(shè)為平面的一個法向量
為滿足題意的一組解
，，設(shè)為平面的一個法向量
，為滿足題意的一組解， 
 二面角的余弦值為
點評：解決的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積公式以及線面垂直的性質(zhì)定理得到證明，屬于基礎(chǔ)題。