已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等,求切線的方程;
(2)若為圓C上任意一點,求的最大值與最小值;
(3)從圓C外一點P(x,y)向圓引切線PM,M為切點,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,求當|PM|最小時的點P的坐標。

(1);或,或;(2)最大值為-1,最小值為-7.;(3)當y=即P()時,|PM|最。

解析試題分析:(1)當截距為0時,設出切線方程為y=kx,同理列出關于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,得到切線的方程;當截距不為零時,根據(jù)圓C的切線在x軸和y軸的截距相等,設出切線方程x+y=b,然后利用點到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d,讓d等于圓的半徑r,列出關于b的方程,求出方程的解即可得到b的值,得到切線的方程;(2)設,則表示直線MA的斜率;其中A(1,-2)是定點;因為在圓C上,所以圓C與直線MA有公共點,而直線MA方程為:y+2=(x-1),則有:C點到直線MA的距離不大于圓C的半徑,即:,解得:,即可求出的最大值為和最小值;(3)根據(jù)圓切線垂直于過切點的半徑,得到三角形CPM為直角三角形,根據(jù)勾股定理表示出點P的軌跡方程,由軌跡方程得到動點P的軌跡為一條直線,所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值,求出原點到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值,然后利用兩點間的距離公式表示出P到O的距離,把P代入動點的軌跡方程,兩者聯(lián)立即可此時P的坐標.
解:圓C的方程為:(x+1)2+(y-2)2=2
(1)圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時,切線過原點或切線的斜率為;
當切線過原點時,設切線方程為:y=kx,相切則:,得;
當切線的斜率為時,設切線方程為:y=-x+b,由相切得:,
得b=1或b=5;故所求切線方程為:;或,或
(2)設,則表示直線MA的斜率;其中A(1,-2)是定點;
因為在圓C上,所以圓C與直線MA有公共點,
而直線MA方程為:y+2=(x-1),則有:C點到直線MA的距離不大于圓C的半徑
即:,解得:,即的最大值為-1,最小值為-7.
(3)由圓的切線長公式得|PM|2=|PC|2-R2=(x+1)2+(y-2)2-2;
由|PM|=|PO|得:(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2;即2x-4y+3=0, 即x=2y-
此時|PM|=|PO|=
所以當y=即P()時,|PM|最。
考點:1.直線的方程;2.直線與圓的位置關系.

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