Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，于（不同于點(diǎn)），延長(zhǎng)AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐，如圖2所示.

（1）若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線//平面；
（2）求證：BD⊥；
（3）若平面平面，試判斷直線與直線CD能否垂直？并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析，（2）詳見(jiàn)解析，（3）不能垂直.

試題分析：（1）折疊問(wèn)題注意折疊前后直線平行與垂直關(guān)系是否變化，若不變，則成為隱含條件.本題中，折疊前,分別為中點(diǎn)，所以//，且折疊后仍不變，這就是證線面平行的關(guān)鍵條件.應(yīng)用線面平行判定定理證明時(shí)，需寫(xiě)全定理所需全部條件.（2）同樣，折疊前，折疊后這一條件對(duì)應(yīng)變化為，由線面垂直判定定理可證結(jié)論.注意必須交代是平面中兩條相交直線.（3）判斷直線與直線CD能否垂直，從假設(shè)垂直出發(fā)比較好推理論證.若直線與直線CD垂直，又由可得,即有因而可推得,即有，又在同一平面內(nèi)，所以與重合，這與題意矛盾.
試題解析：解：
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042818568306.png" style="vertical-align:middle;" />,分別為中點(diǎn)，所以//          2分
又，
所以.           4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042818958618.png" style="vertical-align:middle;" />，且
所以      7分
又
所以            9分
（3）直線與直線不能垂直                   10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042818708794.png" style="vertical-align:middle;" />,,,
，
所以.                   12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042819129667.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042819160639.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
假設(shè)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042819176680.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，                     13分
所以，
這與為銳角矛盾
所以直線與直線不能垂直.                   14分