【題目】已知函數(shù),
(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)
的最大值;
(2)設(shè)函數(shù),求證:
.
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù),對(duì)不等式進(jìn)行參變分離,得到
,
令,即
恒成立等價(jià)于
,然后通過(guò)求導(dǎo),得出
即可;
(2)由(1)知,,只需證
.
變形,令
,故只需證
即可,
通過(guò)求導(dǎo)得到,
注意到,還需要令進(jìn)行二次求導(dǎo),進(jìn)而判斷出
的正負(fù)情況,然后,得到
的單調(diào)性,進(jìn)而得出
,即可證明結(jié)論成立.
解:(1)由題意,原不等式可化為
,
令,則
,
由得
在
上單調(diào)遞增減;
由得
在
上單調(diào)遞增.
所以,所以
.
(2)由(1)知,,只需證
.
令,則
,
令,
,
在
上單調(diào)遞增,
注意到,所以當(dāng)
,
,
,
在
上單調(diào)遞減;
當(dāng),
,
,
在
上單調(diào)遞增.
所以,
∴,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立.
而,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立.
所以,從而
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式。孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一,可以這樣描述:存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得p+2是素?cái)?shù),素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2)稱(chēng)為孿生素?cái)?shù).在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其中能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率是
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有報(bào)道稱(chēng),據(jù)南方科技大學(xué)、上海交大等8家單位的最新研究顯示:A、B、O、AB血型與COVID﹣19易感性存在關(guān)聯(lián),具體調(diào)查數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖:
根據(jù)以上調(diào)查數(shù)據(jù),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.與非O型血相比,O型血人群對(duì)COVID﹣19相對(duì)不易感,風(fēng)險(xiǎn)較低
B.與非A型血相比,A型血人群對(duì)COVID﹣19相對(duì)易感,風(fēng)險(xiǎn)較高
C.與O型血相比,B型、AB型血人群對(duì)COVID﹣19的易感性要高
D.與A型血相比,非A型血人群對(duì)COVID﹣19都不易感,沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若且
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求在點(diǎn)
處的切線(xiàn);
(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,并求出
極值;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直線(xiàn)與圓
相交于
兩點(diǎn),當(dāng)
的面積達(dá)到最大時(shí),
________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
.
(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)
處的切線(xiàn)
與直線(xiàn)
平行,求
的方程;
(2)若,函數(shù)
在
上為增函數(shù),求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,它的體積是
底面△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,
在底面的射影是D,且D為BC的中點(diǎn).
(1)求側(cè)棱與底面ABC所成角的大;
(2)求異面直線(xiàn)與
所成角的大小.
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