Question

（本小題滿分14分）

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

                              

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）略

（Ⅲ）二面角的大小為．

【解析】解:（Ⅰ）連接，如圖，∵、分別是、的中點(diǎn)，是矩形，

∴四邊形是平行四邊形，∴． ……………2分

∵平面，平面，

∴平面．………… 4分

（Ⅱ）連接，

∵正方形的邊長為，，

∴，，，

則，∴．   ……6分

∵在長方體中，，

，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面．          ……………8分

（Ⅲ）在平面中過點(diǎn)作于，連結(jié)，

∵，，

∴平面，又平面，   …………9分

∴，又，且，

∴平面，而平面，    …………10分

∴．∴是二面角的平面角．           ………………12分

在中，，

∴，，∴二面角的大小為．    ……………14分

解法2（坐標(biāo)法）：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．連接，則點(diǎn)、，

∴

又點(diǎn)，，

∴

∴，且與不共線，

∴．

又平面，平面，

∴平面． ………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．  ……………………8分

 

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴為平面的法向量．

∵，，

∴為平面的法向量．

∴，

∴與的夾角為，

即二面角的大小為．  …………………14分