Question

（本題滿分14分）已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足（，）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)， 求數(shù)列的前項(xiàng)和 ；
（Ⅲ）設(shè)（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對(duì)任意，有恒成立．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）
（Ⅲ）存在，使得對(duì)任意，都有．

解析試題分析：（1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系，求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵；注意分類討論思想的運(yùn)用；
（2）利用第一問中所求的公式表示出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇合適的方法----錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）要使得即為，對(duì)于n分為奇數(shù)和偶數(shù)來得到。
解：（Ⅰ）由已知，（，），
即（，），且．
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．∴． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 它的前項(xiàng)和為

（Ⅲ）∵，∴，

∴恒成立，
∴恒成立．
（ⅰ）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為1，∴．
（ⅱ）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，∴．即，又為非零整數(shù)，則．
綜上所述，存在，使得對(duì)任意，都有．…………14分
考點(diǎn)：本試題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)a_n之間的關(guān)系，考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生分類討論思想．運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式選取合適的求和方法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了化歸思想．
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能將已知中前n項(xiàng)和關(guān)系式，通過通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系得到通項(xiàng)公式的求解，并合理選用求和方法得到和式。