【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在其定義域上為單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍;
(2)記的導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時,證明:存在極小值點(diǎn),且.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】分析:(1)函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù),等價于對任意恒成立,對任意恒成立,只需,,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求出函數(shù)最大值,從而可得結(jié)果;(2)由(1)得,其中,,,
∵,∴與同號,令,,存在,使得,是的極小值點(diǎn),.
詳解:(1)依題意函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù),
所以 對任意恒成立,
∴對任意恒成立,
∴對任意恒成立,
∴,,
令,,
∴,
∴當(dāng)時,,為增函數(shù);當(dāng)時,,為減函數(shù),
∴當(dāng)時,,
∴,即的取值范圍是.
(2)由(1)得,其中,,
∴,
∵,∴與同號,
令,,
∴ ,
∴當(dāng)時,,即函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∵,∴,,
∴存在,使得,
∴當(dāng)時,,,是減函數(shù),
∴當(dāng)時,,,是增函數(shù),
∴當(dāng)時,存在,使是的極小值點(diǎn).
又由得,
所以,,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校200名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試成績頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是,,,,.
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這200名學(xué)生的平均分;
(3)若這200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中,某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與英語成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)之比如下表所示,求英語成績在的人數(shù).
分?jǐn)?shù)段 | |||||
1:2 | 2:1 | 6:5 | 1:2 | 1:1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠新研發(fā)了一種產(chǎn)品,該產(chǎn)品每件成本為5元,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行銷售,得到如下數(shù)據(jù):
單價(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求銷量(件)關(guān)于單價(元)的線性回歸方程;
(2)若單價定為10元,估計(jì)銷量為多少件;
(3)根據(jù)銷量關(guān)于單價的線性回歸方程,要使利潤最大,應(yīng)將價格定為多少?
參考公式:,.參考數(shù)據(jù):,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍。為了解職工身體狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數(shù)為
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在(0,+∞)上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)滿足:xf′(x)﹣f(x)=xex且f(1)=﹣3,f(2)=0.則函數(shù)y=f(x)( )
A.有極小值,無極大值
B.有極大值,無極小值
C.既有極小值又有極大值
D.既無極小值又無極大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,角,,所對的邊分別為,,,且,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.是鈍角三角形
C.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍D.若,則外接圓半徑為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是正三角形,EA,CD都垂直于平面ABC,且,,F是BE的中點(diǎn),
求證:(1)平面ABC;
(2)平面EDB.
(3)求幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小王每天自己開車上班,他在路上所用的時間(分鐘)與道路的擁堵情況有關(guān).小王在一年中隨機(jī)記錄了200次上班在路上所用的時間,其頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表,用頻率近似代替概率.
(分鐘) | 15 | 20 | 25 | 30 |
頻數(shù)(次) | 50 | 50 | 60 | 40 |
(Ⅰ)求小王上班在路上所用時間的數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若小王一周上班5天,每天的道路擁堵情況彼此獨(dú)立,設(shè)一周內(nèi)上班在路上所用時間不超過的天數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A(x0 , 0),B(0,y0)兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動,且|AB|=1,若動點(diǎn)P(x,y)滿足 .
(1)求出動點(diǎn)P的軌跡對應(yīng)曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)一條縱截距為2的直線l1與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),若以PQ直徑的圓恰過原點(diǎn),求出直線方程;
(3)直線l2:x=ty+1與曲線C交于A、B兩點(diǎn),E(1,0),試問:當(dāng)t變化時,是否存在一直線l2 , 使△ABE的面積為 ?若存在,求出直線l2的方程;若不存在,說明理由.
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