Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+nc（c是常數(shù)，n=1，2，3…），且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）設(shè)bn=

1

an+1-2

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由遞推關(guān)系求出數(shù)列的前3項，然后根據(jù)a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列建立等式，從而求出c的值，注意驗證；
（Ⅱ）當n≥2時，a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，然后利用疊加法求出a_n，從而求出b_n，最后利用裂項求和法求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由題意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
當c=0時，a₁=a₂=a₃，不合題意，舍去．
故c=2．
（Ⅱ）當n≥2時，
∵a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，
∴a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c
=

n(n-1)

2

c，
∵a₁=2，c=2，
∴a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n≥2，n∈N⁺），
當n=1時，上式也成立，
所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），
∴bn=

1

an+1-2

=

1

(n+1)2-(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

點評：本題主要考查了數(shù)列遞推式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)和疊加法求出通項與裂項求和法進行求和，同時考查了計算能力，屬于中檔題．