已知f(x)＝x(x－a)(x－b)，點(diǎn)A(s，f(s))，B(t，f(t))

(I)若a＝b＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)滿足：當(dāng)|x|≤1時(shí)，有||≤恒成立，求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式；

(III)若0＜a＜b，函數(shù)f(x)在x＝s和x＝t處取得極值，且，證明：與不可能垂直．

答案：
解析：

　　解：(I)f(x)＝x3－2x2+x，(x)＝3x2－4x+1，

　　因?yàn)?I>f(x)單調(diào)遞增，

　　所以(x)≥0，

　　即3x2－4x+1≥0，

　　解得，x≥1，或x≤，　　　　　　　　　　　2分

　　故f(x)的增區(qū)間是(－∞，)和[1，+∞]．　　　　　3分

　　(II)(x)＝3x2－2(a+b)x+ab．

　　當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，恒有|(x)|≤．　　　　　　　4分

　　故有≤(1)≤，

　　≤(－1)≤，

　　≤(0)≤，　　　　　　　　　　　　　　5

　　即　　　　　　6

　　①+②，得

　　≤ab≤，　　　　　　　　　　　　　　8分

　　又由③，得

　　ab＝，

　　將上式代回①和②，得

　　a+b＝0，

　　故f(x)＝x3x．　　　　　　　　　　　　　　　9分

　　(III)假設(shè)⊥，

　　即·＝＝st+f(s)f(t)＝0，　　10分

　　(s－a)(s－b)(t－a)(t－b)＝－1，

　　[st－(s+t)a+a2][st－(s+t)b+b2]＝－1，　　　　11分

　　由s，t為(x)＝0的兩根可得，

　　s+t＝(a+b)，st＝，(0＜a＜b)，

　　從而有ab(a－b)2＝9．　　　　　　　　　　　12分

　　這樣(a+b)2＝(a－b)2+4ab

　�。�+4ab≥2＝12，

　　即a+b≥2，

　　這樣與a+b＜2矛盾．　　　　　　　　13分

　　故與不可能垂直．　　　　　　　　14分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：天津一中2008－2009年高三年級(jí)三月考數(shù)學(xué)試卷(理) 題型：044

已知f(x)＝(x∈R)，在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．

(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2，試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

已知f(x)＝x+1，若f(x+1)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)，則g(x)為( )


  1. A.
    6-x
  2. B.
    x-6
  3. C.
    x-2
  4. D.
    -x-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)＝|x|(x－4)．

(1)把f(x)寫成分段函數(shù)的形式；

(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象；

(3)利用圖象回答：當(dāng)k為何值時(shí)，方程|x|(x－4)＝k有一解？有兩解？有三解？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)＝x－n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)的圖象在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河北省高三8月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點(diǎn)A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，因?yàn)檫^點(diǎn)A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點(diǎn)A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當(dāng)－6<m<2時(shí)，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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