【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓,它的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為 ,且過(guò)點(diǎn)D(2,0).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn) ,若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【答案】
(1)解:由題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(2,0),左焦點(diǎn)為 ,

∴a=2, ,可得b= =1

因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為


(2)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),線段PA的中點(diǎn)為M(x,y),

由根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得 ,整理得

∵點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,

∴可得 ,化簡(jiǎn)整理得 ,

由此可得線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是


【解析】(1)設(shè)橢圓方程為 ,根據(jù)題意可得a=2且c= ,從而b= =1,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P(x0 , y0),線段PA的中點(diǎn)為M(x,y),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式將x0、y0表示成關(guān)于x、y的式子,將P(x0 , y0)關(guān)于x、y的坐標(biāo)形式代入已知橢圓的方程,化簡(jiǎn)整理即可得到線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.

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B.48
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D.56

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