(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

設(shè)，對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，令為中最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列3，5，4，7的創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，7．

考查自然數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列．

（1）若，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，4的所有數(shù)列；

（2）是否存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列；若不存在，請說明理由．

（3）是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足所有條件的數(shù)列的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

 

【答案】

解：（1）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，4的所有數(shù)列有兩個，即3，4，1，2和

3，4，2，1．              ……………（每寫出一個給2分，多寫不得分）4分

（2）存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列．……………………………………5分

設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413013060938134/SYS201205241304093437507381_DA.files/image003.png">為前個自然數(shù)中最大的一個，所以．   ……………………6分

若為等比數(shù)列，設(shè)公比為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413013060938134/SYS201205241304093437507381_DA.files/image007.png">，所以．…7分

當(dāng)時，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列

（或?qū)懲椆?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413013060938134/SYS201205241304093437507381_DA.files/image011.png">）；    ……………………………………9分

當(dāng)時，為增數(shù)列，符合條件的數(shù)列只能是，又不滿足等比數(shù)列．綜上符合條件的創(chuàng)新數(shù)列只有一個．              ……………………10分

（3）存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，     ……………………11分

設(shè)數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413013060938134/SYS201205241304093437507381_DA.files/image003.png">為前個自然數(shù)中最大的一個，所以．

若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413013060938134/SYS201205241304093437507381_DA.files/image007.png">，所以．且  ……………………12分

當(dāng)時，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列（或?qū)懲椆?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413013060938134/SYS201205241304093437507381_DA.files/image011.png">），

此時數(shù)列是首項為的任意一個排列，共有個數(shù)列；      ……………14分

當(dāng)時，符合條件的數(shù)列只能是，此時數(shù)列是，有1個；                                                     ……………………15分

當(dāng)時， 又

這與矛盾，所以此時不存在。    …………17分

綜上滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為個（或回答個）．  …………18分

【解析】略

 

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相關(guān)習(xí)題

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（本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）

若數(shù)列滿足：是常數(shù)），則稱數(shù)列為二階線性遞推數(shù)列，且定義方程為數(shù)列的特征方程，方程的根稱為特征根； 數(shù)列的通項公式均可用特征根求得：

①若方程有兩相異實(shí)根，則數(shù)列通項可以寫成，（其中是待定常數(shù)）；

②若方程有兩相同實(shí)根，則數(shù)列通項可以寫成，（其中是待定常數(shù)）；

再利用可求得，進(jìn)而求得．

根據(jù)上述結(jié)論求下列問題：

（1）當(dāng)，（）時，求數(shù)列的通項公式；

（2）當(dāng)，（）時，求數(shù)列的通項公式；

（3）當(dāng)，（）時，記，若能被數(shù)整除，求所有滿足條件的正整數(shù)的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆上海市盧灣區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分．
已知負(fù)數(shù)和正數(shù)，且對任意的正整數(shù)n，當(dāng)≥0時, 有[, ]=
[, ]；當(dāng)<0時, 有[, ]= [, ]．
（1）求證數(shù)列{}是等比數(shù)列；
（2）若，求證；
（3）是否存在，使得數(shù)列為常數(shù)數(shù)列？請說明理由

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分18分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明為定值;

（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點(diǎn)M,求與面積之和的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文 題型：解答題

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題6分，第3小題6分）
已知數(shù)列的首項為1，前項和為，且滿足，．?dāng)?shù)列滿足.
（1） 求數(shù)列的通項公式；
（2） 當(dāng)時，試比較與的大小，并說明理由；
（3） 試判斷：當(dāng)時，向量是否可能恰為直線的方向向量？請說明你的理由.

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