【題目】在平面直角坐標系中,拋物線 ,直線與拋物線交于, 兩點.

(1)若直線, 的斜率之積為,證明:直線過定點;

(2)若線段的中點在曲線 上,求的最大值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(1)直線的方程為,由,得: ,根據(jù)韋達定理及斜率公式可得,得,∴直線的方程為,直線過定點;(2)設(shè),則, ,代入拋物線方程可得,由,可得,結(jié)合,利用弦長公式可得 .

試題解析:設(shè) ,

(1)由題意可知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,

,得: ,

, ,

,

由已知: ,所以,

∴直線的方程為,所以直線過定點.

(2)設(shè),則, ,

帶入 得:

,∴.

,∴,∴,

又∵ ,∴,

的取值范圍是: .

,將代入得:

,

當且僅當,即時取等號,

所以的最大值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0; q:實數(shù)x滿足 <0.
(1)若a=1,且p∨q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一,次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一,并五關(guān)所稅,適重一斤,問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關(guān),第1關(guān)收稅金 ,第2關(guān)收稅金為剩余金的 ,第3關(guān)收稅金為剩余金的 ,第4關(guān)收稅金為剩余金的 ,第5關(guān)收稅金為剩余金的 ,5關(guān)所收稅金之和,恰好重1斤,問原來持金多少?”若將題中“5關(guān)所收稅金之和,恰好重1斤,問原來持金多少?”改成假設(shè)這個原來持金為x,按此規(guī)律通過第8關(guān),則第8關(guān)需收稅金為x.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓:的四個頂點圍成的四邊形的面積為,原點到直線的距離為.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知定點,是否存在過的直線,使與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過橢圓的左頂點?若存在,求出的方程:若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在幾何體A1B1D1﹣ABCD中,四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形,且AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=2A1D1=2A1B1=4,AA1=4,P為DD1的中點.
(Ⅰ)求證:AB1⊥PC;
(Ⅱ)求幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知向量 , ,函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,其中A為銳角, ,c=1,且f(A)=1,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)= ,若曲線f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若f(x)在(m,m+1)上存在極值,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)求證:當x>1時,

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωx﹣ cosωx(ω>0),若方程f(x)=﹣1在(0,π)上有且只有四個實數(shù)根,則實數(shù)ω的取值范圍為(
A.( , ]
B.( , ]
C.( ]
D.( , ]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 的離心率為 ,四個頂點構(gòu)成的菱形的面積是4,圓M:(x+1)2+y2=r2(0<r<1).過橢圓C的上頂點A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B,D兩點(不同于點A),直線AB,AD的斜率分別為k1 , k2
(1)求橢圓C的方程;
(2)當r變化時,①求k1k2的值;②試問直線BD是否過某個定點?若是,求出該定點;若不是,請說明理由.

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