Question

已知正方體的八個頂點中，有四個點恰好為正四面體的頂點，則該正四面體的體積與正方體的體積之比為（　�。�

• A．1：

  3

• B．1：3
• C．2：3
• D．1：2

Answer 1

分析：由題意可得該正四面體恰好以正方體的面對角線為棱，其體積為正方體的體積減掉4個相同的小三棱錐的體積，設出棱長可求．

解答：解：由題意可知該正四面體恰好以正方體的面對角線為棱，
故設正方體的棱長為a，則正四面體的棱長為

2

a，
而正方體的體積為a³，正四面體的體積為正方體的體積減掉4個相同的小三棱錐的體積，
故正四面體的體積為a³-4×

1

3

×

1

2

a2×a=

1

3

a3
故該正四面體的體積與正方體的體積之比為：

1

3

a3：a³=1：3
故選B

點評：本題考查體積公式，得到正四面體恰好以正方體的面對角線為棱是解決問題的關鍵，屬基礎題．