Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）為R上的奇函數(shù)，

所以f（0）=0，即 =0，解得b=1，

由f（﹣1）=﹣f（1），得 ，解得a=2，

所以a=2，b=1，

即有f（x）= 為奇函數(shù)，

故a=2，b=1

（2）解：f（x）為R上的減函數(shù)，證明如下：

由（1）知f（x）= =﹣ ，

設(shè)x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=（﹣ ）﹣（﹣ ）= ，

因為x1＜x2，所以 ＞0， ，2{x2+1＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以f（x）為減函數(shù)

（3）解：因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0可化為f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

又由（2）知f（x）為減函數(shù)，所以t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t＞k恒成立，

而3t2﹣2t=3 ﹣ ，

所以k＜

【解析】（1）由f（x）為R上的奇函數(shù)得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），解出方程可得a，b值；（2）由（1）知f（x）= =﹣ ，利用單調(diào)性定義可作出判斷；（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），根據(jù)單調(diào)性可去掉符號“f”，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決即可；
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．