Question

如圖：已知P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影O是正方形的中心，PO=OD=a，E是PD的中點(diǎn)
（1）求證：PD⊥平面AEC
（2）求直線BP到平面AEC的距離
（3）求直線BC與平面AEC所成的角．

Answer 1

分析：（1）由PO⊥面ABCD，O為正方形ABCD的中心，可得PA=PC=CD=DA，結(jié)合E是PD的中點(diǎn)，及等腰三角形三線合一，可得PD⊥CE，PD⊥AE，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到PD⊥平面AEC
（2）由三角形中位線定理可得OE∥PB，由線面平行的判定定理可和PB∥面AEC，即直線PB與平面AEC的距離為P點(diǎn)到面AEC的距離，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得PE長即為所求
（3）AD∥BC PD⊥面AEC，故∠EAD為直線BC與面AEC所成的角，結(jié)合（1）中結(jié)論可求出大�。�

解答：證明：（1）∵PO⊥面ABCD，O為正方形ABCD的中心
∴PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA
∵E為PD的中點(diǎn)
∴PD⊥CE，PD⊥AE
又∵AE∩CE=E
∴PD⊥面AEC
解：（2）∵O、E是中點(diǎn)
∴OE∥PB
∴PB∥面AEC
直線PB與平面AEC的距離為P點(diǎn)到面AEC的距離
∵PD⊥面AEC
∴PE為P點(diǎn)到面AEC的距離為

2

2

a
（3）AD∥BC  PD⊥面AEC
∴∠EAD為直線BC與面AEC所成的角為30°

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是點(diǎn)，線，面間的距離計算，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，是空間線面關(guān)系及夾角，距離是綜合應(yīng)用，難度中檔．