Question

(本題滿分16分)A、B是函數(shù)f(x)=+的圖象上的任意兩點(diǎn)，且=()，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；
(Ⅱ)若S_n=f()+f()+…+f()，n∈N₊且n≥2，求S_n；
(Ⅲ)已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為. T_n為其前n項(xiàng)的和，若T_n<(S_n+1+1)，對(duì)一切正整數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)證明：設(shè)A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，M(,y_m)，由得
即x₁+x₂="1."



即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為. …………………………………………………4分
(Ⅱ)當(dāng)n≥2時(shí)，∈(0,1)，又=…=x₁+x₂，
∴=…=f(x₁)+f(x₂)=y₁+y₂=1.
…，又…，
∴2S_n=n-1，則(n≥2，n∈N₊). ……………………………10分
(Ⅲ)由已知T₁=a₁=，n≥2時(shí)，，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n=…=.
當(dāng)n∈N₊時(shí)，T_n<(S_n+1+1)，即>，n∈N₊恒成立，則>.
而(n=2時(shí)“＝”成立)，
∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為(,+∞). ……………………16分

略