Question

已知函數(shù)f（x）=2•a^4-x，（a＞0且a≠1），當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P（x₀，y₀）在函數(shù)f（x）=2•a^4-x的圖象時(shí)，點(diǎn)Q(-

1

3

x0，

1

2

y0)在函數(shù)y=g（x）圖象上．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式．
（2）求g（x）＞1的解集．

Answer 1

分析：（1）設(shè)（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P（x₀，y₀）在函數(shù)f（x）=2•a^4-x的圖象時(shí)，點(diǎn)Q(-

1

3

x0，

1

2

y0)在函數(shù)y=g（x）圖象上，得到x₀=-3x，y₀=2y，
代入函數(shù)f（x）=2•a^4-x，即可求得函數(shù)y=g（x）的解析式；（2）根據(jù)（1），對a＞1和0a＜1進(jìn)行討論解不等式a^4+3x＞a⁰=1，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)，
由已知可知x=-

1

3

x0，y=

1

2

y0，
所以x₀=-3x，y₀=2y，
又因?yàn)镻（x₀，y₀）在函數(shù)f（x）=2•a^4-x的圖象．
所以2y=2a^4+3x，g（x）=a^4+3x
（2）g（x）＞1，g（x）=a^4+3x＞a⁰=1
當(dāng)a＞1時(shí)，4+3x＞0，解集為{x|x＞-

4

3

，x∈R}
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，4+3x＜0，解集為{x|x＜-

4

3

，x∈R}

點(diǎn)評：此題考查代入法求函數(shù)解析式以及利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解指數(shù)不等式，體現(xiàn)了分類討論的思想，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題．