下列4個(gè)命題:
①已知
e
是單位向量,|
a
+
e
|=|
a
-2
e
|,則
a
e
方向上的投影為
1
2
;
②關(guān)于x的不等式a<sin2x+
2
sin2x
恒成立,則a的取值范圍是a<2
2

③函數(shù)f(x)=alog2|x|+x+b為奇函數(shù)的充要條件是a+b=0;
④將函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象向右平移
π
3
個(gè)單位,得到函數(shù)y=sin2x的圖象
其中正確的命題序號(hào)是
(填出所有正確命題的序號(hào)).
分析:化簡①由已知化簡可得
a
e
=
1
2
e
2
,而要求的等于|
a
|cos<
a
,
e
>,代入化簡,即可判斷正誤.②不等式恒成立轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值進(jìn)行判斷出;③通過舉反例對③進(jìn)行判斷;④利用函數(shù)圖象的平移判斷正誤即可;
解答:解:對于①,∵|
a
+
e
|=|
a
-2
e
|,∴(|
a
+
e
|)2=(|
a
-2
e
|)2
展開化簡可得:
a
e
=
1
2
e
2
,
a
e
方向上的投影等于|
a
|cos<
a
,
e
>=
a
e
|
e
|
=
1
2
,所以①正確.
對于②∵0≤sin2x≤1,令sin2x=t,
sin2x+
2
sin2x
=t+
2
t
,則令f(t)=t+
2
t
,t∈[0,1],
根據(jù)其圖象可知,當(dāng)x>
2
時(shí),f(t)為遞增的,當(dāng)0<x≤
2
時(shí),f(t)為遞減的,
∵t∈[0,1],∴f(t)≥f(1)=1+2=3,∴sin2x+
2
sin2x
≥3
∵a<sin2x+
2
sin2x
恒成立時(shí),只要a小于sin2x+
2
sin2x
的最小值即可,所以a<3,所以②不正確.
對于③當(dāng)a=1,b=-1時(shí),雖然有a+b=0,但f(x)不是奇函數(shù),故③錯(cuò),
對于④將函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象向右平移
π
3
個(gè)單位,得到函數(shù)y=sin(2x-
π
3
)的圖象,所以④不正確.
正確只有①.
故答案為:①.
點(diǎn)評(píng):本題考查向量的投影,轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積和模長來運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵,不等式恒成立問題,考查的知識(shí)點(diǎn)比較多,屬基礎(chǔ)題.
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10、已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d為常數(shù)),當(dāng)k∈(-∞,0)∪(4,+∞)時(shí),f(x)-k=0只有一個(gè)實(shí)根;當(dāng)k∈(0,4)時(shí),f(x)-k=0只有3個(gè)相異實(shí)根,現(xiàn)給出下列4個(gè)命題:
①f(x)=4和f′(x)=0有一個(gè)相同的實(shí)根;
②f(x)=0和f′(x)=0有一個(gè)相同的實(shí)根;
③f(x)+3=0的任一實(shí)根大于f(x)-1=0的任一實(shí)根;
④f(x)+5=0的任一實(shí)根小于f(x)-2=0的任一實(shí)根.
其中正確命題的序號(hào)是
①②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

6、已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列4個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為(  )
①若m∥α,n?α,則m∥n
②若α⊥β,m⊥α,n⊥β,則m⊥n③若m?α,n?β且m⊥n,則α⊥β
④若m,n是異面直線,m?α,n?β,m∥β,則n∥α

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知下列4個(gè)命題:
①若f(x)為減函數(shù),則-f(x)為增函數(shù);
②若f(x)為增函數(shù),則函數(shù)g(x)=
1
f(x)
在其定義域內(nèi)為減函數(shù);
③若函數(shù)f(x)=
(2-m)x+2m(x<1)
(m-1)|x+1|(x≥1)
在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是1<m<2;
④函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[-a,a](a>0)上都是奇函數(shù),則f(x)•g(x)在區(qū)間[-a,a](a>0)是偶函數(shù).
其中正確命題的序號(hào)是
①,④
①,④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a,b是兩條直線,α,β是兩個(gè)平面,有下列4個(gè)命題:
①若a∥b,b?α,則a∥α;            ②若a⊥b,a⊥α,b?α,則b∥α
③若α⊥β,a⊥α,b⊥β,則a⊥b;      ④若a,b異面,a?α,b?β,a∥β,則α∥β.
其中正確命題的序號(hào)是
②③④
②③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省汕頭市高三五月高考前模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

給出的下列四個(gè)命題中:

①已知隨機(jī)變量,,;

②“”是“直線與直線相互垂直”的充要條件;

③設(shè)圓與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn),分別為,則;

④關(guān)于x的不等式的解集為R,則

其中所有真命題的序號(hào)是_______.

 

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