Question

已知命題p：?x₀∈[-1，1]，滿足

x

2 0

+x0-a+1＞0，命題q：?t∈（0，1），方程x2+

y2

(t-a)(t-a-2)+1

=1都表示焦點在y軸上的橢圓．若命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：若命題p為真，僅須(x02+x0-a+1)max＞0，根據二次函數的圖象和性質可得實數a的取值范圍；根據橢圓的標準方程，可得命題q為真時，（t-a）（t-a-2）+1＞1．進而根據命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p與q一真一假，分類討論后，綜合討論結果，可得實數a的取值范圍．

解答：解：因為?x₀∈[-1，1]，滿足x02+x0-a+1＞0，
所以只須(x02+x0-a+1)max＞0
即3-a＞0，
所以命題p：a＜3；
因為?t∈（0，1），方程x2+

y2

(t-a)(t-a-2)+1

=1都表示焦點在y軸上的橢圓，
所以（t-a）（t-a-2）+1＞1
即（t-a）（t-a-2）+1＞0對?t∈（0，1）恒成立；
所以命題q：a≤-2，或a≥1
若p真q假，得

a＜3 -2＜a＜1

，即-2＜a＜1；
若p假q真，得

a≥3 a≤-2或a≥1

，即a≥3；
綜上所述，a∈（-2，1）∪[3，+∞）；

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假，命題的真假判斷與應用，其中根據存在性命題及函數恒成立問題求出對應的實數a的取值范圍是解答的關鍵．