【題目】已知函數(shù)， ，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）試判斷曲線與是否存在公共點并且在公共點處有公切線.若存在，求出公切線的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)對函數(shù)求導可得，求解不等式和可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)假設(shè)曲線與存在公共點且在公共點處有公切線，由題意可知

，據(jù)此有式即.結(jié)合函數(shù)， 的性質(zhì)可知方程在上有唯一實數(shù)根，據(jù)此可得曲線與的公切線的方程為.

試題解析：

（Ⅰ），令得.

當且時， ；當時， .

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）假設(shè)曲線與存在公共點且在公共點處有公切線，且切點橫坐標為，則

，即，其中（2）式即.

記， ，則，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又， ， ，故方程在上有唯一實數(shù)根，經(jīng)驗證也滿足（1）式.

于是， ， ，曲線與的公切線的方程為，即.

練習冊系列答案
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【題目】(2017·太原三模)已知等比數(shù)列{an}的各項均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，則數(shù)列{bn}的前n項和的最大值為(　　)

A. 126 B. 130 C. 132 D. 134

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【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)．

①若函數(shù)在處的切線過點，求的值；

②當時，若函數(shù)在上沒有零點，求的取值范圍．

（2）設(shè)函數(shù)，且，求證: 當時，．

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【題目】已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，且．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)上述的取值范圍為，若存在，使對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】【2018河南安陽市高三一模】如下圖，在平面直角坐標系中，直線與直線之間的陰影部分即為，區(qū)域中動點到的距離之積為1．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）動直線穿過區(qū)域，分別交直線于兩點，若直線與軌跡有且只有一個公共點，求證： 的面積恒為定值．

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【題目】已知m，n∈R＋，f(x)＝|x＋m|＋|2x－n|.

(1)當m＝n＝1時，求f(x)的最小值；

(2)若f(x)的最小值為2，求證.

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（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，若對任意正整數(shù)n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．

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【題目】在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取個樣品，并對其壽命進行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下．根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品．

壽命（天）

頻數(shù)

頻率

合計

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出， 的值．

（Ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，求個燈泡中恰有一個是優(yōu)等品的概率．

（Ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了個進行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購買的燈泡中次品的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．

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（I）當是線段的中點時，求證：PB // 平面ACM；

（II）求證： ；

（III）是否存在點，使二面角的大小為60°，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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