已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設(shè)直線與曲線交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為,試問：當變化時，直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

（I）；（II）對于任意的，直線與軸交于定點．

解析試題分析：（I）找出題中的相等關(guān)系，列出，化簡即得曲線的方程；（II）將直線方程代入曲線方程，消去得，記，則，且.特別地，令，則.此時，直線與軸的交點為．若直線與軸交于一個定點，則定點只能為．再證明對于任意的，直線與軸交于定點，可利用直線的兩點式方程結(jié)合分析法．
試題解析：（I）設(shè)是點到直線的距離,根據(jù)題意,點的軌跡就是集合
  
由此得       
將上式兩邊平方,并化簡得
即，所以曲線的方程為   
（II）由得，即.  
記，
則，且.
特別地，令，則.
此時，直線與軸的交點為． 
若直線與軸交于一個定點，則定點只能為．
以下證明對于任意的，直線與軸交于定點．
事實上，經(jīng)過點的直線方程為.
令，得只需證，   
即證，即證.
因為，
所以成立．
這說明，當變化時，直線

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給定圓:及拋物線:,過圓心作直線,此直線與上述兩曲線的四個交點,自上而下順次記為,如果線段的長按此順序構(gòu)成一個等差數(shù)列,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，直線與橢圓C相交于A、B兩點.
（1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率為，
直線：y=x+2與原點為圓心，以橢圓C的短軸長為直
徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓交于，兩點.設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在點，使得是以GH為底邊的等腰三角形. 如果存在，求出實數(shù)的取值范圍，如果不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點，點在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過點．直線與橢圓交于不同的兩點、，且橢圓上存在點，使，其中是坐標原點，是實數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當取何值時，的面積最大？最大面積等于多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，上頂點為B，離心率為，圓與軸交于兩點
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，過點與圓相切的直線與的另一交點為，求的面積

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如果過點的直線與橢圓交于兩點（點與點不重合），
①求的值；
②當為等腰直角三角形時，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示：已知過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點。

（1）求證：以AF為直徑的圓與x軸相切；
（2）設(shè)拋物線在A，B兩點處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△ABM的外接圓方程；
（3）設(shè)過拋物線焦點F的直線與橢圓的交點為C、D，是否存在直線使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案