Question

直角三角形的直角頂點為動點，，為兩個定點，作于，動點滿足，當點運動時，設點的軌跡為曲線，曲線與軸正半軸的交點為．

(Ⅰ) 求曲線的方程；

(Ⅱ) 是否存在方向向量為m的直線，與曲線交于，兩點，且 與的夾角為？若存在，求出所有滿足條件的直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）曲線的方程為；（Ⅱ）存在滿足條件的直線．

解析:

（I）由題意知，點在以為直徑的圓上，且除去兩點．

即點坐標滿足方程：．

設點，，則，　　①

由知，，即．代入①式

得　，即，曲線的方程為．           

（II）由（I）知，點，假設直線存在，可設，設，不妨令 ，則由 得  ．                

  ，，，

．   ,

則

，

則，  即，，解得或．                           

當時，向量與的夾角為，不合題意舍去；

當時，向量與的夾角為，符合題意．

綜上，存在滿足條件的直線．