Question

已知函數(shù)f（x）=ax（x-1）²+1，（x∈R）和函數(shù)g（x）=（2-a）x³+3ax²-ax，（x∈R）
（Ⅰ）令h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）在[1，+∞）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，若F（x）=f（x）+a有極大值-7，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)h（x）求導(dǎo)，利用函數(shù)h（x）在[1，+∞）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則說明h'（x）＜0有解．
（Ⅱ）利用函數(shù)F（x）=f（x）+a有極大值-7，可求實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=2x³+ax²+1．
∴h'（x）=6x²+2ax，…（2分）
由題意要使函數(shù)h（x）在[1，+∞）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，h'（x）＜0在[1，+∞）上有解．
∵h(yuǎn)'（x）=6x²+2ax=0，解得x=0或x=-

a

3

．
由圖象可知當(dāng)-

a

3

＞1（圖④正確），解得a＜-3．
（Ⅱ）F（x）=f（x）+a=ax（x-1）²+a+1，
所以F'（x）=a（3x²-4x+1），令F'（x）=0，得3x²-4x+1=0，解得x=1或x=

1

3

．
列表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	-		+		-
F（x）	遞減	極小值	遞增	極大值a+1	遞減

∴F（x）在x=1處取得極大值-7，即a+1=-7，解得a=-8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值的問題，屬于�？碱}型要求熟練掌握．