已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,其左、右焦點分別為、,短軸長為,點在橢圓上,且滿足的周長為6.
(Ⅰ)求橢圓的方程;;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓相交于A、B兩點,試問在x軸上是否存在一個定點M使恒為定值?若存在求出該定值及點M的坐標(biāo),若不存在請說明理由.
(Ⅰ)
(Ⅱ)存在這樣的定點,使得。
解析試題分析:(Ⅰ) 所以橢圓的方程為
4分
(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的定點,設(shè),直線方程為
則
=
聯(lián)立 消去得
令 即 ,
當(dāng)軸時,令,仍有
所以存在這樣的定點,使得 13分
考點:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,平面向量的坐標(biāo)運算。
點評:中檔題,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要運用了橢圓的幾何性質(zhì),a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。對于存在性問題,往往假定存在,條件存在的條件是否具備,而明確存在與否。本題應(yīng)用韋達定理,結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,簡化了解題過程。
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平面內(nèi)動點到點的距離等于它到直線的距離,記點的軌跡為曲.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若點,,是上的不同三點,且滿足.證明: 不可能為直角三角形.
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過直線y=﹣1上的動點A(a,﹣1)作拋物線y=x2的兩切線AP,AQ,P,Q為切點.
(1)若切線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,求證:k1•k2為定值.
(2)求證:直線PQ過定點.
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如圖,己知直線l與拋物線相切于點P(2,1),且與x軸交于點A,定點B(2,0).
(1)若動點M滿足,求點M軌跡C的方程:
(2)若過點B的直線(斜率不為零)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點E,F(xiàn)(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.
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如圖,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點,使PB2⊥QB2,求直線l的方程.
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已知橢圓C:()經(jīng)過與兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點,橢圓C上一點M滿足.求證:為定值.
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已知點是離心率為的橢圓:上的一點,斜率為的直線交橢圓于、兩點,且、、三點不重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由?
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如圖,已知F1、F2分別為橢圓C1:的上、下焦點,其中F1也是拋物線C2:的焦點,點A是曲線C1,C2在第二象限的交點,且
(Ⅰ)求橢圓1的方程;
(Ⅱ)已知P是橢圓C1上的動點,MN是圓C:的直徑,求的最大值和最小值.
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已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,焦點為,點是點關(guān)于軸的對稱點,過點的直線交拋物線于兩點。
(1)試問在軸上是否存在不同于點的一點,使得與軸所在的直線所成的銳角相等,若存在,求出定點的坐標(biāo),若不存在說明理由。
(2)若的面積為,求向量的夾角;
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