Question

17．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）若直線l過原點(diǎn)，且被曲線C截得的弦長(zhǎng)最小，求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（x，y），求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法得到C的直角坐標(biāo)方程，直線l過原點(diǎn)，且被曲線C截得的弦長(zhǎng)最小，則直線l與OC垂直，可得l的斜率為1，即可求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）利用圓的參數(shù)方程，即可求x+y的最大值．

解答 解：（1）ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，即ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，
∴x²+y²-2x+2y-2=0，即（x-1）²+（y+1）²=4，
圓心坐標(biāo)C（1，-1），直線l過原點(diǎn)，且被曲線C截得的弦長(zhǎng)最小，
則直線l與OC垂直，可得l的斜率為1，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x；
（2）若M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（x，y），
設(shè)x=1+2cosθ，y=-1+2sinθ，
∴x+y=2sinθ+cosθ=2$\sqrt{2}$sin（θ+45°）
當(dāng)sin（θ+45°）時(shí)，x+y的最大值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，考查直線方程，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．