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已知數列an的前項和Sn=2n+2-4(n∈N*),函數f(x)對任意的x∈R都有f(x)+f(1-x)=1,數列{bn}滿足bn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)…+f(
n-1
n
)+f(1).
(1)分別求數列{an}、{bn}的通項公式;
(2)若數列{cn}滿足cn=an•bn,Tn是數列{cn}的前項和,是否存在正實數k,使不等式k(n2-9n+26)Tn>4ncn對于一切的n∈N*恒成立?若存在請指出k的取值范圍,并證明;若不存在請說明理由.
(1)∵Sn=2n+2-4(n∈N*),
n=1,a1=S1=21+2-4=4…(1分)
n≥2,an=Sn-Sn-1=(2n+2-4)-(2n+1-4)=2n+1
n=1時滿足上式,
an=2n+1(n∈N*)…(2分)
∵f(x)+f(1-x)=1,
f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=1
,…(3分)
∵bn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)…+f(
n-1
n
)+f(1),①
bn=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…
+f(1)+f(0),②
∴①+②,得2bn=n+1bn=
n+1
2
.…(5分)
(2)∵cn=an•bn
cn=(n+1)•2n…(6分)
Tn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n,①
2Tn=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)×2n+1,②
①-②,得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1…(8分)
Tn=n•2n+1…(9分)
要使得不等式k(n2-9n+26)Tn>4ncn恒成立,
∵(n2-9n+26)Tn>0恒成立,
k>
4ncn
(n2-9n+26)Tn
對于一切的n∈N*恒成立,
k>
2(n+1)
n2-9n+26
…(11分)
g(n)=
2(n+1)
n2-9n+26
(n∈N*)
,
g(n)=
2(n+1)
(n+1)2-11(n+1)+36
=
2
(n+1)-11+
36
(n+1)
2
2
(n+1)•
36
(n+1)
-11
=2

當且僅當n=5時等號成立,
∴g(n)max=2…(13分)
所以k>2為所求.…(14分)
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