Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，即可證明平面.

（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，取平面的一個法向量為，結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可得解.

證明：（1）如圖，取的中點，連接、.

∵是的中點，∴，，

又，，所以，，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又平面，平面，

∴平面.

（2）在平面內(nèi)過點作的垂線，由題意知，，兩兩垂直，以

為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，由題意知，，，

可得，，，∴，，

設(shè)平面的法向量為，

則由，即，令，則，，

∴為平面的一個法向量.

∵底面，∴可取平面的一個法向量為，

∴，

∵二面角為銳二面角，

∴二面角的大小為.