Question

選做題：已知曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cos(θ+

π

6

)與ρcos(θ+

π

6

)=4．
（1）將C₁，C₂的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在曲線C₁上，點(diǎn)Q在C₂上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）把C₁ 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為 (x-

3

)2+(y+1)2=4，故曲線C₁ 表示以C₁（

3

，-1）為圓心，以2為半徑的圓．化簡(jiǎn)C₂的方程化為直角坐標(biāo)方程

3

x-y-8=0，表示一條直線．
（2）由于點(diǎn)P在曲線C₁上，點(diǎn)Q在C₂上，圓心C₁到直線的距離等于

|3+1-8|

2

=2=r，故直線和圓相切，從而得到|PQ|的最小值．

解答：解：（1）C₁ ：ρ=4cos(θ+

π

6

)，即 ρ²=4ρcos

π

6

cosθ-sin

π

6

sinθ=2

3

ρcosθ-2ρsinθ，即 x²+y²=2

3

x-2y，
即 (x-

3

)2+(y+1)2=4，故曲線C₁ 表示以C₁（

3

，-1）為圓心，以2為半徑的圓．
C₂ 即 ρ( cosθ cos

π

6

- sinθsin

π

6

) = 4，即

3

2

x-

1

2

y=4，即

3

x-y-8=0，表示一條直線．
（2）由于點(diǎn)P在曲線C₁上，點(diǎn)Q在C₂上，圓心C₁到直線的距離等于

|3+1-8|

2

=2=r，故直線和圓相切，
故|PQ|的最小值等于0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．