Question

13．已知函數(shù)y=x+$\frac{t}{x}$有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)在（0，$\sqrt{t}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函數(shù)．
（1）已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈[1，3]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）已知函數(shù)g（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$和函數(shù)h（x）=-x-2a，若對(duì)任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得h（x₂）=g（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，在x∈[2，3]上單調(diào)遞增，f（x）的最大值為max{f（1），f（3）}；
（2）對(duì)原式化簡(jiǎn)換元有：設(shè)μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，則y=$μ+\frac{4}{μ}$-8，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用集合的關(guān)系求出a范圍．

解答 解：（1）由已知可以知道，函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，在x∈[2，3]上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+$\frac{4}{3}$=$\frac{13}{3}$；
f（1）＞f（3）所以f（x）_max=f（1）=5
所以f（x）在x∈[1，3]的值域?yàn)閇4，5]．
（2）y=g（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$=2x+1+$\frac{4}{2x+1}$-8
設(shè)μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，則y=$μ+\frac{4}{μ}$-8，
由已知性質(zhì)得，
當(dāng)1≤u≤2，即0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，所以遞減區(qū)間為[0，$\frac{1}{2}$]；
當(dāng)2≤u≤3，即$\frac{1}{2}$≤x≤1時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，所以遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，1]；
由g（0）=-3，g（$\frac{1}{2}$）=-4，g（1）=-$\frac{11}{3}$，得g（x）的值域?yàn)閇-4，-3]．
因?yàn)閔（x）=-x-2a為減函數(shù)，故h（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]．
根據(jù)題意，g（x）的值域?yàn)閔（x）的值域的子集，
從而有$\left\{\begin{array}{l}{-1-2a≤-4}\\{-2a≥-3}\end{array}\right.$，所以a=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，值域與集合關(guān)系以及對(duì)新定義理解，屬中等題．