Question

某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率p與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系：P=

1 96-x (1≤x≤94，x∈N) 2 3      (x＞94，x∈N)

已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損

A

2

元，廠方希望定出適當(dāng)?shù)娜债a(chǎn)量．
（1）試判斷：當(dāng)日產(chǎn)量（件）超過94件時(shí)，生產(chǎn)這種儀器能否贏利？并說明理由；
（2）當(dāng)日產(chǎn)量x件不超過94件時(shí)，試將生產(chǎn)這種儀器每天的贏利額T（元）表示成日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（3）為了獲得最大利潤，日產(chǎn)量x件應(yīng)為多少件？

Answer 1

分析：（1）分別求出當(dāng)x＞94時(shí)，合格品的贏利總額與次品的虧損總額，兩者比較可得生產(chǎn)這種儀器能否贏利；
（2）分別求出每日生產(chǎn)的合格品數(shù)與次品數(shù)，然后根據(jù)每天的贏利為T=日產(chǎn)量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日產(chǎn)量（x）×次品率（P）×虧損（

A

2

），整理即可得到；
（3）由（1）可知，日產(chǎn)量超過94件時(shí)，不能盈利，然后求出當(dāng)1≤x≤94時(shí)生產(chǎn)這種儀器每天的贏利額T（元）的函數(shù)解析式，最后利用基本不等式可求出最值，從而求出所求．

解答：解：（1）當(dāng)x＞94時(shí)，p=

2

3

，由題意可知，每日生產(chǎn)的合格品約為

1

3

x件，次品約為

2

3

x件，合格品共可贏利

1

3

xA元，次品共虧損

2

3

x•

A

2

=

1

3

xA元．
因盈虧相抵，故當(dāng)日產(chǎn)量超過94件時(shí)，不能贏利．
（2）當(dāng)1≤x≤94時(shí)，p=

1

96-x

，
∵每日生產(chǎn)的合格品約為x（1-

1

96-x

）件，次品約為

x

96-x

件，
∴T=x（1-

1

96-x

）A-

x

96-x

•

A

2

=[x-

3x

2(96-x)

]A（1≤x≤94）．
（3）由（1）可知，日產(chǎn)量超過94件時(shí)，不能盈利．
當(dāng)1≤x≤94時(shí)，T=（x+

3

2

-

144

96-x

）A=[97

1

2

-（96-x）-

144

96-x

]A．
∵x≤94，96-x＞0，
∴T≤[97

1

2

-2

(96-x)• 144 96-x

]A=

147

2

A＞0
當(dāng)且僅當(dāng)（96-x）=

144

96-x

時(shí)，即x=84時(shí)，等號(hào)成立．
故要獲得最大利潤，日產(chǎn)量應(yīng)為84件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用基本不等式求得函數(shù)的最值問題，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于中檔題．