在平面直線坐標(biāo)系，xOy中，直線l與拋線y2＝2x相交于A、B兩點．

(1)求證：如果直線l過點(3，0)，那么·＝3”是真命題．

(2)寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

答案：
解析：

　　(1)證明：設(shè)l：x＝ty＋3，代入拋物線y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0．

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6，

·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2

　�。絫2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2

　�。剑�6t2＋3t·2t＋9－6＝3．

　　∴·＝3，故為真命題．

　　(2)解：(1)中命題的逆命題是：若·＝3，則直線l過點(3，0)是假命題．

　　設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝2x，消去x得

　　y2－2ty－2b＝0．

　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b．

　　∵·＝x1x2＋y1y2

　�。�(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2

　�。絫2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

　　＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b．

　　令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1．

　　此時直線l過點(3，0)或(－1，0)．

　　故逆命題為假命題．

　　點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量的數(shù)量積運算及四種命題，考查運算能力及利用所學(xué)知識與方法解決問題的能力．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m∈R，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y-1），a⊥b，動點M（x，y）的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（Ⅱ）已知m=
1
4
．證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點），并求該圓的方程；
（Ⅲ）已知m=
1
4
．設(shè)直線l與圓C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l與軌跡E只有一個公共點B1．當(dāng)R為何值時，|A1B1|取得最大值？并求最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：函數(shù)f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)；命題q：在平面直角坐標(biāo)系中，點（-1，a）在直線x+y-3=0的左下方．若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江門一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點M（1，-1）為圓心，且與直線x-2y+2=0相切的圓的方程是
（x-1）2+（y+1）2=5
（x-1）2+（y+1）2=5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
x=4cosθ
y=3sinθ
(θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ+6sinθ-8cosθ=0（ρ≥0）．
（I）化曲線C1的參數(shù)方程為普通方程，化曲線C2的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（II）直線l：
x=2+t
y=-
3
2
+λt
(t為參數(shù)）過曲線C1與y軸負(fù)半軸的交點，求直線l平行且與曲線C2相切的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河南省盧氏二高2010屆高三上學(xué)期期末模擬高三數(shù)學(xué)試題 題型：022

我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直線坐標(biāo)系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(－3，4)，且法向量為＝(1，－2)的直線(點法式)方程為1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化簡得x－2y＋11＝0．類比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點A(1，2，3)且法向量為＝(－1，－2，1)的平面(點法式)方程為________．(請寫出化簡后的結(jié)果)

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同步練習(xí)冊答案