Question

已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將f（x）=x代入定義（x+T）=T f（x）驗(yàn)證知函數(shù)f（x）=x不屬于集合M．
（2）由題意存在x∈R使得a^x=x，由新定義知存在非零常數(shù)T使得a^T=T，將函數(shù)關(guān)系式代入f（x+T）=T f（x）驗(yàn)證知
f（x）=a^x∈M．
（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，依據(jù)定義應(yīng)該有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[-1，1]對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，故T=±1．將T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范圍即可．

解答：解：（1）對(duì)于非零常數(shù)T，
f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．
因?yàn)閷?duì)任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，
所以f（x）=x∉M；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，
所以方程組：

y=ax y=x

有解，消去y得a^x=x，
顯然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常數(shù)T，使a^T=T．
于是對(duì)于f（x）=a^x有f（x+T）=a^x+T=a^T•a^x=T•a^x=Tf（x）故f（x）=a^x∈M；
（3）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=0，顯然f（x）=0∈M．
當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)閒（x）=sinkx∈M，所以存在非零常數(shù)T，
對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因?yàn)閗≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，
只有T=±1，當(dāng)T=1時(shí)，sin（kx+k）=sinkx成立，
則k=2mπ，m∈Z．
當(dāng)T=-1時(shí)，sin（kx-k）=-sinkx成立，
即sin（kx-k+π）=sinkx成立，
則-k+π=2mπ，m∈Z，即k=-（2m-1）π，m∈Z．
綜合得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ，m∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：考查新定義下問(wèn)題的證明與求解，此類(lèi)題的特點(diǎn)是探究時(shí)只能以新定義的規(guī)則為依據(jù)，不能引入熟悉的算法，這是做此類(lèi)題時(shí)要注意的．