已知函數(shù)f(x)=-x3ax24(aR)

(1)若函數(shù)yf(x)的圖象在點P(1,f(1))處的切線的傾斜角為,求f(x)[1,1]上的最小值;

(2)若存在x0(0,+∞),使f(x0)0,求a的取值范圍.

 

(1) 最小值為f(0)=-4 (2) (3,+∞)

【解析】(1)f′(x)=-3x22ax.

根據(jù)題意得,f′(1)tan1,32a1,即a2.

f(x)=-x32x24,則f′(x)=-3x24x.

f′(x)0,得x10,x2.

x

1

(1,0)

0

(0,1)

1

f′(x)

 

0

 

f(x)

1

?

4

?

3

x[1,1]時,f(x)的最小值為f(0)=-4.

(2)f′(x)=-3x.

a≤0,則當x>0時,f′(x)<0,f(x)(0,+∞)上單調(diào)遞減.

f(0)=-4,則當x0時,f(x)<-4.

a≤0時,不存在x00,使f(x0)0.

a0,則當0x時,f′(x)0;

x時,f′(x)0.

從而f(x)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

x(0,+∞)時,f(x)maxf=-44.

根據(jù)題意得,40,即a327.a3.

綜上可知,a的取值范圍是(3,+∞)

 

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Af(x)上單調(diào)遞減 Bf(x)上單調(diào)遞增

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A[1,+∞) B(,-1]

C[1,+∞) D(,1]

 

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其圖象關(guān)于y軸對稱;

x0時,f(x)是增函數(shù);當x0時,f(x)是減函數(shù);

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