【題目】如圖, 平面平面, 是等邊三角形, 的中點(diǎn).

(1)證明: ;

(2)若直線與平面所成角的余弦值為,求二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】試題分析:(1)由是等邊三角形, 的中點(diǎn),可得,利用直線與平面垂直的判定定理得出直線與平面垂直,再利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線為軸, 所在直線為軸,過且與直線的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)直線與平面所成的角的余弦值為.可得,不妨設(shè),利用向量垂直數(shù)量積為零,分別求出平面與平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值,進(jìn)而可得正弦值.

試題解析:(1)因?yàn)?/span>是等邊三角形, 的中點(diǎn),所以,因?yàn)?/span>平面平面,所以,因?yàn)?/span>,所以平面,因?yàn)?/span>平面,所以.

(2)解法1: 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線為軸, 所在直線為軸,過且與直線的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>平面,所以為直線與平面所成的角.

由題意得,,

,從而.不妨設(shè),又,則.

.

于是,

設(shè)平面與平面的法向量分別為,

,得

,得.

.

.故二面角的正弦值為1.

(2)解法2: 平面為直線與平面所成的角.

由題意得,

,從而.

不妨設(shè),又,則 .

由于平面, 平面,則.

的中點(diǎn),連接,則.

中, ,

中, ,

中, ,

的中點(diǎn),連接,則.

所以為二面角的平面角.

中, ,

中, ,

中, ,

.

故二面角的正弦值為1.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì),以及利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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(2)①由直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;

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附:①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;

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