Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC內(nèi)，∠OPA=45°，∠OPB=60°，則∠OPC的度數(shù)為（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征我們易判斷出這是一個(gè)有三條棱在P點(diǎn)兩兩垂直的三棱錐，由已知中O在△ABC內(nèi)，∠OPA=45°，∠OPB=60°，利用“三余弦”定理，我們易求出∠OPC的余弦值，進(jìn)而求出∠OPC的度數(shù)．
解答：解：已知如圖所示：
過O做平面PBC的垂線，
交平面PBC于Q，連接PQ
則∠OPQ=90°-60°=30°．
∵cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB，
得到cos∠QPB=
∵∠QPC是∠QPB的余角，
∴cos∠QPC=
∴cos∠OPC=cos∠OPQ×cos∠QPC，
∴cos∠OPC=
∴∠OPC=60°
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，其中利用“三余弦”定理，我們易求出∠OPC的余弦值，是解答本題的關(guān)鍵．