【題目】已知函數(shù),,其中且,為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)是否存在,對任意的,任意的,都有?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,,,無極小值;
當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,單調(diào)遞增區(qū)間是,,無極大值.
(2)存在滿足題意.
【解析】
(1)求出導(dǎo)數(shù),分和討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
(2)由題意可得,利用導(dǎo)數(shù)求出和,解關(guān)于的不等式即可.
(1)(且).
當(dāng)時,由可得且;由可得,
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,,
,無極小值.
當(dāng)時,由可得;由可得且,
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,單調(diào)遞增區(qū)間是,
,無極大值.
綜上,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,,,無極小值;
當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,,單調(diào)遞增區(qū)間是,,無極大值.
(2)由題意,只需.
由(1)知當(dāng),時,
函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故.
,.
當(dāng),時,
由可得;由可得.
函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
.
故,不等式兩邊同乘以,得,
故.
,.
存在滿足題意.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】祖暅原理:兩個等高的幾何體,若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個幾何體的體積相等.利用祖暅原理可以求旋轉(zhuǎn)體的體積.比如:設(shè)半圓方程為,半圓與軸正半軸交于點,作直線,交于點,連接(為原點),利用祖暅原理可得:半圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得半球的體積與繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積相等.類比這個方法,可得半橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積是_________.
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【題目】在平面直角坐標系 xOy 中,已知橢圓 C:的離心率為,且過點 (,),點 P 在第四象限, A 為左頂點, B 為上頂點, PA 交 y 軸于點 C,PB 交 x 軸于點 D.
(1) 求橢圓 C 的標準方程;
(2) 求 △PCD 面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若函數(shù)的圖象在處的切線為,當(dāng)實數(shù)變化時,求證:直線經(jīng)過定點;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知拋物線()的焦點為,以拋物線上一動點為圓心的圓經(jīng)過點F.若圓的面積最小值為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)當(dāng)點的橫坐標為1且位于第一象限時,過作拋物線的兩條弦,且滿足.若直線AB恰好與圓相切,求直線AB的方程.
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【題目】已知函數(shù)(),數(shù)列的前項和為,點在圖象上,且的最小值為.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,“大衍數(shù)列”:來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.下圖是求大衍數(shù)列前項和的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,輸入,則輸出的( )
A. 64 B. 68 C. 100 D. 140
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【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“, 兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“作品獲得一等獎”.
若這四位同學(xué)只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016高考新課標II,理15)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是________.
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