已知、分別是橢圓: 的左、右焦點，點在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過點．直線與橢圓交于不同的兩點、，且橢圓上存在點，使，其中是坐標原點，是實數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當取何值時，的面積最大？最大面積等于多少？

（Ⅰ）;（Ⅱ）當時，的面積最大，最大面積為.

解析試題分析：1.由于題目較長，一些考生不能識別有效信息，未能救出橢圓的方程求.2. 第（Ⅰ）問，求的取值范圍.其主要步驟與方法為：由，得關(guān)于、的不等式……   ①.由根與系數(shù)的關(guān)系、，在橢圓上，可以得到關(guān)于、、的等式……      ②．把等式②代入①，可以達到消元的目的，但問題是這里一共有三個變量，就是消了，那還有關(guān)于和的不等式，如何求出的取值范圍呢？這將會成為難點.事實上，在把等式②代入①的過程中，和一起被消掉，得到了關(guān)于的不等式.解之即可.
3.第（Ⅱ）問要把的面積函數(shù)先求出來.用弦長公式求底，用點到直線的距離公式求高，得到的面積，函數(shù)中有兩個自變量和，如何求函數(shù)的最大值呢？這又成為難點.這里很難想到把②代入面積函數(shù)中，因為②中含有三個變量，即使代入消掉一個后，面積函數(shù)依然有兩個自變量.但這里很巧合的是：代入消掉后，事實上，也自動地消除了，于是得到了面積和自變量的函數(shù)關(guān)系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范圍，利用均值不等式，即可求出面積的最大值了.
試題解析：:（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意得
 解方程組得
∴橢圓的方程為．
由，得．
根據(jù)已知得關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根.
∴，
化簡得：．
設(shè)、，則
．
（1）當時，點、關(guān)于原點對稱，，滿足題意；
（2）當時，點、關(guān)于原點不對稱，.
由，得 即 
∵在橢圓上，∴，
化簡得：．
∵，∴．
∵，
∴，即且．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實數(shù)的取值范圍是．
（Ⅱ）當

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的長軸長為4，且過點．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點，若，點為線段的中點，、兩點的坐標分別為、，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0<a<)，曲線C的極坐標方程為．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，當a變化時，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動圓C經(jīng)過點，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為時，求直線m的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，曲線與曲線相交于、、、四個點.
⑴ 求的取值范圍；
⑵ 求四邊形的面積的最大值及此時對角線與的交點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設(shè)直線與曲線交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為,試問：當變化時，直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

橢圓的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
(I)若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足,為坐標原點，求證:.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是橢圓的右焦點，圓與軸交于兩點，是橢圓與圓的一個交點，且.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點與圓相切的直線與的另一交點為，且的面積等于，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，離心率為．分別過，的兩條弦，相交于點（異于，兩點），且．

（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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