如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是AC與BD的交點(diǎn)，M是CC1的中點(diǎn)．
（1）求證：A1P⊥平面MBD；
（2）求直線B1M與平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值．
（1）證明：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
DA
，
DC
，
DD1
為單位正交基向量，
建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．則P（
1
2
，
1
2
，0），M（0，1，
1
2
）．
A1P
=（-
1
2
，
1
2
，-1），
DB
=（1，1，0），
DM
=（0，1，
1
2
），所以
A1p•
DB
=0，
A1p•
DM
=0．
所以
A1p
⊥
DB
，
A1p
⊥
DM

又因?yàn)锽D∩DM=D，所以A1P⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取
n
=（1，-1，2）為平面MBD的一個(gè)法向量．
又
.
B1M
=（-1，0，-
1
2
），
所以cos＜
n
，
AM
＞=-
2
5
5

所以直線AM與平面MBD所成角的正弦值為
2
5
5
．
（3）
AB
=（0，1，0），
BM
=（-1，0，
1
2
）．
設(shè)
n
1=（x，y，z）為平面ABM的一個(gè)法向量，則
n1•
AB
=0
n1•
BM
=0

解得
y=0
-x+
1
2
z=0
即
y=0
z=2x
，故可取
n
1=（1，0，2）．
由（1）可知，可取
n
=（1，-1，2）為平面MBD的一個(gè)法向量．
所以cos＜
n
，
n
1＞=
1+4
5
×
6
=
30
6
．
所以平面ABM與平面MBD所成銳角的余弦值為
30
6
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：BE⊥CD；
（3）求BD與平面PDC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論中正確的是______．（把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上）
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥平面CB1D1；
③AC1與底面ABCD所成角的正切值是
2
；
④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2
；
⑤過點(diǎn)A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有2條．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示．

（1）求這個(gè)四棱錐的全面積及體積；
（2）求證：PA⊥BD；
（3）在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°？若存在，求
|DQ|
|DP|
的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

正四棱錐相鄰二側(cè)面形成的二面角為θ，則θ的取值范圍是（　　）
A．（0，
π
2
）		B．（
π
3
，
π
2
）		C．（
π
4
，
π
3
）		D．（
π
2
，π）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大�。�
（3）求三棱錐D-AMN的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱與底面成角為60°，過底面一邊作一截面使其與底面成30°的二面角，則此截面的面積為（　�。�
A．
3
4
a2		B．
3
3
a2		C．
1
3
a2		D．
3
8
a2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)．
求：
（1）D1E與平面BC1D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π
2
，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點(diǎn)．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，求證：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當(dāng)f（x）取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的余弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案